초월 수학 상수인 e가 최고인 이유

초월 수학 상수인 e가 최고인 이유
인사이트 퍼즐
에 의해 프라딥 뮤탈릭

2021년 11월 24일

오일러 수에 대한 우리의 퍼즐의 해는 그 이유를 설명합니다

e는 최적성과 관련된 상황에서 나타납니다.

Quanta Magazine의 James Round

지난달 저희는 평범해 보이지만 숫자 트위스트. 표면 아래에 숨겨진 신비한 초월수이자형. 자연 로그의 밑수로 가장 잘 알려진 오일러 수

e는 2.7 1828 1828 45 90 45…로 시작하는 무한 소수점 확장이 있는 범용 상수입니다(처음 15에서 유사 패턴을 강조 표시하기 위해 공백이 추가됨 소수점 이하 자릿수). 그런데 왜 우리의 퍼즐에서 그것은 겉보기에 아무데도 나타나지 않는 것 같습니까?

이 질문에 답하기 전에

에 대해 조금 더 알아야 합니다. e의 속성 및 별칭. 초월적인 사촌처럼 π,

e는 무한 급수의 합, 무한 곱, 무한 수열의 극한, 놀랍도록 규칙적인 연속 분수 및 so on.

나는 아직도 내 첫 소개를 기억한다 e. 우리는 학교에서 공통 로그를 공부하고 있었고 모든 숫자를 10의 분수 거듭제곱으로 표현하는 것만으로 복잡한 곱셈 문제를 간단한 덧셈으로 바꾸는 능력에 놀랐습니다. 분수와 무리수의 거듭제곱은 어떻게 계산됩니까? 물론 10

과 같은 정수 거듭제곱을 계산하는 것은 쉽습니다. 2
및 103, 그리고 조금 있으면 계산 102.5 10의 제곱근을 구하여5

. 그러나 그들은 로그 테이블에서 주장한 대로 20이 10

임을 어떻게 알아냈습니까? 1.30103? 모든 숫자의 전체 로그 테이블을 처음부터 어떻게 구성할 수 있습니까? 어떻게 그렇게 할 수 있는지 상상할 수 없었습니다.

나중에 이 위업을 가능하게 하는 마법 공식에 대해 배웠습니다. “자연 로그”의 “자연”이 어디에서 왔는지 힌트를 제공합니다.

=1 + frac{x}{1 !}+frac{x^{2}}{2 !}+frac{x^{3}}{3 !}+frac{ x^{4}}{4 !}+frac{x^{5}}{5 !}+cdots.

음수 거듭제곱의 경우 대체 용어는 예상대로 음수입니다.

이자형-NS

=1 – frac{x}{1 !}+frac{x^{2}}{2 !}-frac{ x^{3}}{3 !}+frac{x^{4}}{4 !}-frac{x^{5}}{5 !}+cdots.

이 강력한 공식은 신비한 힘의 계산을 가능하게 합니다이자형 부정의 실수, 정수 또는 분수 ve 무한대에서 무한대로 원하는 정밀도로. 그들은 자연 로그의 완전한 테이블을 구성할 수 있도록 하고, 그로부터 공통 로그를 처음부터 만들 수 있습니다.

에 대한 이 공식의 특수한 경우 x=1은

의 이 유명한 표현을 제공합니다. e:

e =1 + frac{1}{1 !}+frac{1}{ 2 !}+frac{1}{3 !}+frac{1}{4 !}+frac{1}{5 !}+cdots.

게다가, e에는 많은 놀라운 속성이 있으며 그 중 일부는 우리의 문제에 대한 해결책을 발견하십시오. 그러나 의 본질로 가는 하나의 속성은 e 및 지수 성장 및 붕괴의 로그 및 상황에 대해 매우 자연스럽도록 만드는 것은 다음과 같습니다.

$라텍스 frac{d}{dx}$

이자형NS

=이자형NS

.

이것은 의 변화율을 말합니다. 이자형NS는 모든 지점에서 해당 값과 동일합니다. 때 x는 시간을 나타내며 성장 속도(또는 음수의 경우 감소)를 나타냅니다. x) 현재까지 누적된 크기 또는 수량과 동일합니다. 실제 세계에는 오랜 시간 동안 정확히 이 작업을 수행하는 무수한 현상이 있으며, 우리는 이러한 현상을 기하급수적 성장 또는 붕괴의 예로 알고 있습니다. 그러나 유틸리티는 별도로

이 속성에는 미적 완벽함과 자연스러움의 요소가 있습니다. e 진정으로 경이로움을 불러일으킬 수 있습니다. 그것은 심지어 도덕적 교훈을 담고 있습니다. 저는 성장을 추구하면서 항상 완벽한 균형을 유지하며 얻은 것보다 더 많거나 적게 손을 뻗지 않는 Zen과 같은 기능으로 생각하고 싶습니다.

경고: 아래 퍼즐 풀이에서 우리는 조금 더 많은 수학에 들어갈 것입니다 이 퍼즐 열의 경우 보통보다 고급스럽고 막강해 보입니다. 방정식으로 인해 눈이 번쩍 뜨여도 걱정하지 마십시오. 일반적인 주장과 개념을 따르십시오. 내 희망은 누구나 어떻게 그리고 왜 e가 퍼즐에 나타납니다. BBC TV 시리즈에서 Man, Jacob Bronowski는 John von Neumann의 수학적 저술에 대해 수학을 읽을 때 개념적 논증의 조정을 따르는 것이 중요하다고 말했습니다. 베이스.”

이제 시도해 보겠습니다. 추적 방법 e가 퍼즐에 나타납니다.

퍼즐 1: 파티션

10과 같은 임의의 숫자를 취합니다. 두 개의 5와 같이 동일한 수의 조각으로 나누고 함께 곱합니다. 5 × 5=25. 이제 10을 3, 4, 5 또는 6으로 나눌 수 있었습니다. 동일한 조각과 동일한 작업을 수행합니다. 이렇게 하면 제품에 어떤 일이 발생합니까?

2 조각: 5 × 5=25

  • 3개 조각: 3.33 × 3.33 × 3.33=37.04
  • 4개: 2.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5=39.06
    5개 조각: 2 × 2 × 2 × 2 × 2=32
    6개: 1.67 × 1.67 × 1.67 × 1.67 × 1.67 × 1.67=21.43

    제품이 증가하는 것을 볼 수 있으며, 최대로 보이는 값에 도달한 다음 감소하기 시작합니다. 20과 30과 같은 다른 숫자에 대해서도 동일한 작업을 수행해 보십시오. 모든 경우에 동일한 일이 발생함을 알 수 있습니다. 이것은 숫자 자체와 관련이 없지만 숫자의 고유한 속성으로 인해 발생합니다e.

    NS. 제품이 지정된 수의 최대값에 도달한 시점과 이것이 무엇과 관련이 있는지 파악할 수 있는지 확인하십시오이자형.

    1a에 대한 힌트에서 언급했듯이 각 조각의 값이

    에 가까울 때 제품이 최대값에 도달합니다. 이자형. 더 정확하게 말하면 조각의 값이 양쪽에 있을 때 가장 높은 두 제품이 얻어집니다. 이자형. 여기에서 고려하고 있는 일상적인 크기의 작은 숫자의 경우

    e가 가장 작습니다.

    NS. 숫자 10의 경우 가장 큰 제품(39.06)이 다음으로 큰 제품(37.04)보다 약 5.5% 더 큽니다. 실제 차이를 계산하지 않고 100보다 작은 숫자 중 가장 큰 제품과 다음으로 큰 제품 간의 백분율 차이가 가장 작은 숫자를 추측할 수 있습니까? 왜 그래야 합니까?

    위에서부터 두 개의 인접한 조각의 값이 e,

    보다 하나 낮음 e 및 기타 상위. (이는 함수가

    를 중심으로 대칭인 경우에만 엄격히 사실입니다. e, 그것은 아니지만 이 범위에서 미셸 니제트가 훌륭하게 설명했듯이 충분히 가깝습니다.) 원래 숫자가 N, 이는 frac{N}{e} 비율의 소수 부분이 0.5에 가까울 때 발생하는 경향이 있습니다. 즉, frac{N}{e} 두 정수 사이의 중간점. 따라서 에 대한 frac{N}{e} 테이블을 구성하면 N 최대 100 및 0.5에 가장 가까운 분수 부분을 찾으면 필요한 정수를 얻을 수 있습니다. 53. 나누기 53 안녕는 19.4976을 제공하며 19개 및 20개 조각으로 산출된 제품의 차이는 0.0013%에 불과합니다.

    씨. 왜 이 겉보기에 간단한 문제에서 발생합니까?

    독자 Lazar Ilic, Ashok Khatri, Alan Olson, Kurt Godel, TG, Atul Kumar 및 Michel Nizette가 설명했듯이, 답은 몇 가지 기본 미적분을 포함합니다. 특히, 최대값을 찾아야 합니다. 도함수를 0으로 설정하여 함수. 우리의 함수는 (frac{n}{x})NS이며 각 조각의 가치는 frac{n}{x}입니다. 함수의 로그는 x(ln frac{n}{x}) 및 대신 이를 최대화할 수 있습니다. 이는 다소 쉽습니다. 이 문제를 수동으로 해결할 수 있다면 감사합니다! 그러나 미적분학을 하는 것이 차가 아니라면 “NS/dx(

    x ln

    N/NS)=0″을 Wolfram Alpha로. 도함수는 ln(frac{n}{x})=1로 평가되며 솔루션을 출력합니다x =긍정적인 경우 frac{n}{e}N x. 따라서 최적 조각의 값은 frac{n}{x}=이자형. 짜잔! 그렇게 e

    가 발생하여 최대 제품을 제공합니다.

    이것은 우리에게 e는 최적의 속성을 가지고 있습니다. 퍼즐 2에서 볼 수 있듯이 최대값 또는 최소값을 찾는 상황에서 나타날 수 있습니다. 이 속성의 가장 기본적인 버전은 e 함수의 값을 계산하면 NS1/NS 모든 양의 실수에 대해 (이것은 슈타이너의 문제로 알려져 있음). 모든 무한 실수 중에서 이 함수에 대해 가장 높은 값을 산출하는 x이자형. 최대화x1/x

      frac{(ln x)}{x}를 최대화하는 것과 같습니다. frac{(1 -ln x)}{x^2}는 lnNS=1, x=e.

    퍼즐 2: 연합

    독자들이 지적했듯이 이것은 잘 알려진 비서 문제의 재진술이었습니다. 요점은 아래와 같습니다.

    상속인 다음 규칙에 따라 10명의 잠재적 후보 배우자 중 가장 좋은 사람을 선택해야 합니다. 후보자들은 차례로 인터뷰를 하고 다음 후보자가 고려되기 전에 합격(최고로 의심되는 경우) 또는 불합격됩니다. 거부된 후보자는 리콜할 수 없으며 후보자가 승인되면 프로세스가 중지됩니다. 최종 후보자는 그때까지 프로세스가 종료되지 않은 경우 기본적으로 수락되어야 합니다.

    NS. 상속인이 관계가 없다고 가정할 때 어떻게 최상의 후보자를 선택할 기회를 극대화할 수 있습니까?

    이 상황에서는 상속인이 특정 수의 후보자를 무조건 거부(“거부” 단계)한 후 순위에 있는 나머지 후보자 중 첫 번째 사람을 선택하는 “선택 단계”가 필요합니다. 이전에 거부된 모든 것보다 높습니다. 거부 단계가 특정 기간일 때 최상의 후보를 선택할 가능성이 극대화됩니다. 거부 단계가 더 길거나(최상의 후보가 거부될 가능성이 더 높음) 더 짧은 경우(그는 후보자의 순위를 적절하게 지정할 수 있는 충분한 경험이 없어 낮은 순위의 후보자가 수락됨) 확률이 떨어집니다.

    이것은 “최적 정지” 문제로 알려져 있으며, 및 e는 최적의 속성 때문에 솔루션에 나타납니다. 다수의 후보자의 경우 n, 초기에 거부된 최적의 후보자 수는

    n 나누기 e.

    에 대한 확률 계산은 다음과 같습니다. n=10인 경우 거부 단계(r)=3. 첫째, 최고의 후보자는 10분의 1 확률(frac{1} {n}) 특정 위치에 있음. 각 인터뷰 대상자의 위치에 대해 (

    i), 이 frac{1}{10}에 해당 위치에서 최고의 후보자가 선택될 확률을 곱합니다. 그런 다음 모든 위치에 대한 확률을 합산하고 일반 표현식을 작성합니다.