수학 만이 풀 수있는 물리학의 핵심 미스터리

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시리즈

수학이 QFT를 만나다
By 케빈 하트넷

2021 년 6 월 10 일

양자 장 이론의 수학을 이해하려는 가속화 된 노력은 수학과 물리학 모두에 중대한 결과를 가져올 것입니다. .

“> Olena Shmahalo / Quanta Magazine

지난 세기 동안 양자 장 이론은 지금까지 발명 된 것 중 가장 광범위하고 성공적인 물리 이론입니다. 이것은 많은 특정 양자 장 이론을 포괄하는 포괄적 용어입니다. “모양”이 사각형 및 원형과 같은 특정 예를 다루는 방식입니다. 이러한 이론 중 가장 두드러진 것은 표준 모델로 알려져 있습니다. 그리고 이것은 매우 성공적이었던 물리학의 틀입니다.

“이것은 우리가 해본 모든 실험을 말 그대로 근본적인 수준에서 설명 할 수 있습니다.”라고 케임브리지 대학의 물리학자인 David Tong이 말했습니다.

그러나 양자 장 이론 (QFT)은 분명 불완전합니다. 물리학 자도 수학자도 양자 장 이론을 양자 장 이론으로 만드는 이유를 정확히 알지 못합니다. 그들은 전체 그림을 엿볼 수 있지만 아직 이해하지 못합니다.

“QFT에 대해 더 나은 사고 방식이있을 수 있다는 다양한 징후가 있습니다.”라고 Institute for Advanced Study의 물리학자인 Nathan Seiberg가 말했습니다. “여러 곳에서 만질 수있는 동물 인 것 같지만 전체 동물이 보이지는 않습니다.”

내부 일관성과 모든 세부 사항에 대한주의가 필요한 수학은 QFT를 전체적으로 만들 수있는 언어입니다. 수학이 잘 확립 된 수학적 대상을 특성화하는 것과 동일한 엄격함으로 QFT를 설명하는 방법을 배울 수 있다면, 물리적 세계에 대한보다 완전한 그림이 따라 올 것입니다.

“양자 장 이론을 적절한 수학적 방법으로 정말로 이해했다면, 이것은 우리에게 많은 열린 물리학 문제에 대한 답을 줄 것입니다. 중력의 양자화를 포함합니다.”라고 Institute for Advanced Study의 이사 인 Robbert Dijkgraaf가 말했습니다. Quanta ).

이것은 일방 통행로도 아닙니다. 수천년 동안 물리적 세계는 수학의 가장 위대한 뮤즈였습니다. 고대 그리스인들은 별의 움직임을 연구하기 위해 삼각법을 발명했습니다. 수학은 그것을 주제의 천체 기원에 대한 언급없이 학생들이 지금 배우는 정의와 규칙을 가진 학문으로 바 꾸었습니다. 거의 2,000 년 후, Isaac Newton은 케플러의 행성 운동 법칙을 이해하기를 원했고 극소 한 변화에 대해 엄격한 사고 방식을 찾으려고했습니다. 이 충동 (Gottfried Leibniz의 계시와 함께)은 미적분학 분야를 탄생 시켰으며, 수학이 적절하고 개선되었으며 오늘날에는 거의 존재하지 않을 수있었습니다.

이제 수학자들은 물리학 자들이 기본 입자를 연구하기 위해 개발 한 아이디어, 대상 및 기술을 수학의 본문에 통합하여 QFT에 대해 동일한 작업을 수행하기를 원합니다. 이것은 미래의 수학자들이 이론이 처음 발생한 물리적 맥락에 대해 생각할 필요가 없도록 QFT의 기본 특성을 정의하는 것을 의미합니다.

보상은 클 것입니다. 탐구 할 새로운 물체와 숫자, 방정식, 모양 사이의 가장 중요한 관계를 포착하는 새로운 구조를 발견하면 수학은 성장합니다. QFT는 둘 다 제공합니다.

“물리 자체는 구조로서 매우 깊습니다. 우리가 이미 관심을 갖고있는 수학적인 것에 대해 생각하는 더 좋은 방법 인 경우가 많았습니다. 그것은 단지 그것들을 구성하는 더 좋은 방법 일뿐입니다.”라고 Austin, Texas 대학의 수학자 David Ben-Zvi는 말했습니다.

적어도 40 년 동안 QFT는 추구 할 아이디어로 수학자를 유혹했습니다. 최근 몇 년 동안 그들은 마침내 QFT 자체의 기본 개체 중 일부를 이해하기 시작했습니다. 입자 물리학의 세계에서 개체를 추상화하고 그 자체로 수학적 개체로 바꾸는 것입니다.

하지만 아직 초기 단계입니다.

“우리는 거기에 도착할 때까지 알 수 없지만 빙산의 일각 만보고 있다는 것은 확실히 제 기대입니다.”Greg Moore가 말했습니다. , Rutgers University의 물리학 자. “수학자들이 정말로 [QFT]를 이해한다면 수학의 심오한 발전으로 이어질 것입니다.”

필드 포에버

우주는 전자, 쿼크, 광자 등과 같은 기본 입자로 구성되는 것으로 생각하는 것이 일반적입니다. 그러나 오래 전에 물리학은이 관점을 넘어 섰습니다. 이제 물리학 자들은 입자 대신에 “양자 장”이라는 것을 현실의 실제 왜곡과 씨름으로 이야기합니다.

이 들판은 우주의 시공간에 걸쳐 펼쳐져 있습니다. 그들은 다양한 종류가 있으며 구르는 바다처럼 변동합니다. 필드가 파문을 일으키고 서로 상호 작용함에 따라 입자가 밖으로 나온 다음 파도의 덧문처럼 다시 사라집니다.

“입자는 영원히 존재하는 물체가 아닙니다.”Tong이 말했습니다. “그것은 분야의 춤입니다.”

양자 장을 이해하는 것이 가장 쉽습니다. 평범하거나 고전적인 분야에서 시작합니다. 예를 들어 지구 표면의 모든 지점에서 온도를 측정한다고 상상해보십시오. 이러한 측정을 수행 할 수있는 무한한 많은 지점을 결합하면 필드라고하는 기하학적 개체가 형성되어이 모든 온도 정보를 함께 패키지화합니다.

일반적으로 공간 전체에서 무한히 미세한 해상도로 고유하게 측정 할 수있는 수량이있을 때마다 필드가 나타납니다. 캐나다 워털루에있는 Perimeter Institute for Theoretical Physics의 물리학자인 Davide Gaiotto는“여기와 저기의 전기장이 무엇인지 등 시공간의 각 지점에 대해 독립적 인 질문을 할 수 있습니다.

양자 장은 에너지와 같은 양자 현상을 관찰 할 때 발생합니다. 공간과 시간의 모든 지점에서 전자. 그러나 양자 장은 고전적인 것과 근본적으로 다릅니다.

측정 여부에 관계없이 전자는 관찰하는 순간까지 명확한 위치가 없습니다. 그 전에는 위치를 확률 적으로 만 설명 할 수 있었는데, 양자 장의 모든 지점에 값을 할당하여 다른 곳과 비교해 그곳에서 전자를 찾을 가능성을 포착했습니다. 관찰하기 전에 전자는 본질적으로 어디에도, 어디에도 존재하지 않습니다.

“대부분의 것 물리학에서는 단순한 물체가 아닙니다. 그들은 공간과 시간의 모든 지점에서 살아가는 무언가입니다.”라고 Dijkgraaf는 말했습니다.

양자 장 이론에는 필드의 한 지점에서의 측정이 다른 지점에서 수행 된 측정과 어떻게 관련되는지 또는 상호 관련되는지를 설명하는 상관 함수라는 규칙이 함께 제공됩니다.

각 양자 장 이론은 특정 수의 차원에서 물리학을 설명합니다. 2 차원 양자 장 이론은 종종 절연체와 같은 물질의 거동을 설명하는 데 유용합니다. 6 차원 양자 장 이론은 특히 끈 이론과 관련이 있습니다. 4 차원 양자 장 이론은 실제 4 차원 우주에서 물리학을 설명합니다. 표준 모델은 다음 중 하나입니다. 우주를 가장 잘 묘사하는 하나의 가장 중요한 양자 장 이론입니다.

우주를 구성하는 12 개의 알려진 기본 입자가 있습니다. 각각에는 고유 한 양자 필드가 있습니다. 이 12 개 입자 장에 표준 모델은 중력, 전자기, 강한 핵력 및 약한 핵력의 4 가지 기본 힘을 나타내는 4 개의 힘장을 추가합니다. 이 16 개 필드를 서로 상호 작용하는 방식을 설명하는 단일 방정식으로 결합합니다. 이러한 상호 작용을 통해 기본 입자는 각각의 양자 장의 변동으로 이해되고 물리적 세계가 우리 눈앞에 나타납니다.

이상하게 들릴 수 있지만, 물리학 자들은 1930 년대에 입자가 아닌 장에 기반한 물리학이 인과 관계 문제에서 입자가 작동하지 않는다는 사실에 이르기까지 가장 시급한 불일치를 해결했다는 사실을 깨달았습니다. 영원히 살지 않습니다. 또한 물리적 세계에서 불가능한 일관성으로 보이는 것이 무엇인지 설명했습니다.

“우주 어디에서나 동일한 유형의 모든 입자는 동일합니다.”Tong이 말했습니다. “우리가 대형 Hadron Collider로 가서 갓 채굴 된 양성자를 만든다면 그것은 100 억년 동안 여행해온 양성자와 똑같습니다. 그것은 약간의 설명이 필요합니다.” QFT는이를 제공합니다 : 모든 양성자는 동일한 기본 양성자 필드 (또는 더 자세히 볼 수 있다면 기본 쿼크 필드)의 변동 일뿐입니다.

하지만 QFT의 설명력은 수학적 비용이 많이 듭니다.

“양자 장 이론은 수학에서 가장 복잡한 대상이며, 수학자들은이를 이해하는 방법을 모릅니다.”라고 Tong은 말했습니다. “양자 장 이론은 수학자들이 아직 발명하지 않은 수학입니다.”

너무 많은 무한대

수학자에게 왜 그렇게 복잡합니까? 한마디로 무한대

한 지점에서 양자 장을 측정 할 때 , 결과는 좌표 및 온도와 같은 몇 가지 숫자가 아닙니다. 대신 그것은 숫자의 배열 인 행렬입니다. 그리고 어떤 행렬도 아닙니다. 연산자라고하는 큰 행렬은 무한히 많은 열과 행이 있습니다. 이것은 양자 장이 자기장에서 나오는 입자의 모든 가능성을 어떻게 포괄 하는지를 반영합니다.

“입자가 가질 수있는 위치는 무한히 많으며, 이는 위치 측정, 운동량 측정을 설명하는 행렬도 무한 차원이어야한다는 사실로 이어집니다.”라고 University of University의 Kasia Rejzner는 말했습니다. 요크.

이론이 무한 성을 생성 할 때 물리적 관련성을 의문으로 부릅니다. , 무한은 개념으로 존재하기 때문에 어떤 실험도 측정 할 수있는 것이 아닙니다. 또한 이론을 수학적으로 다루기 어렵게 만듭니다.

무한대를 나타내는 프레임 워크를 갖는 것을 좋아합니다. 그래서 무슨 일이 일어나고 있는지에 대한 더 나은 수학적 이해가 필요하다는 것을 깨닫기 시작했습니다.”라고 암스테르담 대학의 물리학자인 Alejandra Castro가 말했습니다.

물리학 자들이 두 개의 양자 장이 상호 작용하는 방식에 대해 생각하기 시작하면, 예를 들어 입자 충돌이 제네바 외부의 대형 강 입자 충돌기에서 모델링 될 때 무한대의 문제는 더욱 악화됩니다. 고전 역학에서 이러한 계산 유형은 쉽습니다. 두 개의 당구 공이 충돌 할 때 어떤 일이 발생하는지 모델링하려면 충돌 지점에서 각 공의 운동량을 지정하는 숫자를 사용하면됩니다.

두 개의 양자 필드가 상호 작용할 때 비슷한 작업을 수행하고 싶습니다. 한 필드에 대한 무한 차원 연산자에 무한- 그들이 만나는 시공간의 정확한 지점에서 다른 것에 대한 차원 연산자. 그러나이 계산 (무한히 가까운 두 개의 무한 차원 개체를 곱하는)은 어렵습니다.

Rejzner는 “이곳에서 상황이 매우 잘못되었습니다.”라고 말했습니다.

스매싱 성공

물리학 자와 수학자는 무한대를 사용하여 계산할 수 없지만 문제를 피하는 양을 근사하는 방법 인 해결 방법을 개발했습니다. 이러한 해결 방법은 실험이 무한히 정확하지 않기 때문에 충분히 좋은 대략적인 예측을 산출합니다.

“우리는 실험을하고 소수점 13 자리까지 측정 할 수 있으며 소수점 13 자리 모두에 동의합니다. 그것은 모든 과학에서 가장 놀라운 일입니다.”Tong이 말했다.

해결 방법은 아무 일도 일어나지 않는 퀀텀 필드가 있다고 상상하는 것으로 시작됩니다. 상호 작용이 없기 때문에 “자유”이론이라고하는이 설정에서는 움직이는 것이없고 충돌하는 것도 없기 때문에 무한 차원 행렬을 곱하는 것에 대해 걱정할 필요가 없습니다. 그 설명은 그다지 가치가 없지만 전체 수학적 세부 사항으로 설명하기 쉬운 상황입니다.

“상호 작용할 것이없는 외로운 분야를 묘사했기 때문에 완전히 지루합니다. 그래서 약간의 학문적 연습입니다.”Rejzner가 말했습니다.

하지만 더 재미있게 만들 수 있습니다. 물리학 자들은 상호 작용을 강화하여 상호 작용을 더 강하게 만들면서 그림의 수학적 제어를 유지하려고 노력합니다.

이 접근 방식을 섭동 QFT라고하는데, 자유 필드에서 작은 변화 나 섭동을 허용한다는 의미입니다. 자유 이론과 유사한 양자 장 이론에 섭 동적 관점을 적용 할 수 있습니다. 또한 실험을 검증하는 데 매우 유용합니다. Rejzner는 “놀라운 정확성과 놀라운 실험적 동의를 얻었습니다.”라고 말했습니다.

하지만 상호 작용을 계속 더 강하게 만들면 섭 동적 접근 방식이 결국 과열됩니다. 실제 물리적 우주에 접근하는 점점 더 정확한 계산을 생성하는 대신 점점 덜 정확 해집니다. 이것은 섭동 방법이 실험에 유용한 가이드이지만 궁극적으로 우주를 시도하고 설명하는 올바른 방법이 아님을 시사합니다. 사실상 유용하지만 이론적으로는 불안정합니다.

“우리는 모든 것을 더하고 합리적인 것을 얻는 방법을 모릅니다.”라고 Gaiotto가 말했습니다.

또 다른 근사 계획은 다른 방법으로 본격적인 양자 장 이론을 몰래 시도합니다. 이론적으로 양자 장은 무한히 세분화 된 정보를 포함합니다. 이 필드를 요리하기 위해 물리학 자들은 격자 또는 격자로 시작하여 격자 선이 서로 교차하는 위치로 측정을 제한합니다. 따라서 모든 곳에서 양자 장을 측정 할 수있는 대신 처음에는 고정 된 거리를두고 선택한 장소에서만 측정 할 수 있습니다.

거기에서 물리학 자들은 격자의 해상도를 높이고 실을 더 가깝게 그려 더 미세하고 미세한 직조를 만듭니다. 조이면 측정 할 수있는 포인트 수가 증가하여 모든 곳에서 측정을 수행 할 수있는 이상적인 필드 개념에 접근합니다.

“점 사이의 거리가 매우 좁아지고 그런 것이 연속적인 필드가됩니다.”Seiberg가 말했습니다. 수학적 용어로, 그들은 연속체 양자 장이 조임 격자의 한계라고 말합니다.

수학자들은 한계를 다루는 데 익숙하고 특정 한계가 실제로 존재하는지 확인하는 방법을 알고 있습니다. 예를 들어 무한 시퀀스 $ latex frac {1} {2} $ + $ latex frac {1} {4} $ + $ latex frac {1} {8} $ +의 한계를 증명했습니다. $ latex frac {1} {16} $…은 1입니다. 물리학 자들은 양자 장이이 격자 절차의 한계임을 증명하고 싶습니다. 그들은 단지 방법을 모릅니다.

“어떻게하는지는 그렇게 명확하지 않습니다. 그 한계와 그것이 수학적으로 의미하는 바를 받아들이십시오.”라고 Moore는 말했습니다.

조임 격자가 양자 장의 이상화 된 개념으로 이동하고 있다는 것을 의심하지 마십시오. QFT의 예측과 실험 결과 사이의 밀접한 일치는 이것이 사실임을 강력히 시사합니다.

“양자 장 이론의 성공이 정말 놀라웠 기 때문에 이러한 모든 한계가 실제로 존재한다는 것은 의심의 여지가 없습니다.”라고 Seiberg는 말했습니다. 그러나 어떤 것이 옳다는 강력한 증거가 있고 그것이 두 가지 다른 것임을 결론적으로 증명합니다.

QFT가 대체하고자하는 다른 위대한 물리 이론과는 다른 정도의 부정확성입니다. Isaac Newton의 운동 법칙, 양자 역학, Albert Einstein의 특수 및 일반 상대성 이론-모두 QFT가 말하고자하는 더 큰 이야기의 일부일 뿐이지 만 QFT와는 달리 모두 정확한 수학적 용어로 기록 할 수 있습니다.

“양자 장 이론은 물리적 현상의 거의 보편적 인 언어로 등장했지만 잘못된 수학 형태”라고 Dijkgraaf가 말했습니다. 그리고 일부 물리학 자들에게는 그것이 일시 중지의 이유입니다.

집은 그 자체가 수학적 방법으로 이해되지 않는이 핵심 개념에 안주하고 있는데 왜 이것이 세상을 묘사하고 있다고 확신합니까? 그것은 전체 문제를 선명하게합니다.”라고 Dijkgraaf는 말했습니다.

외부 교반기

이 불완전한 상태에서도 QFT는 여러 가지 중요한 수학적 발견을 촉발했습니다. 일반적인 상호 작용 패턴은 QFT를 사용하는 물리학 자들이 수학자가 설명하려고하는 놀라운 계산을 우연히 발견하는 것입니다.

“아이디어를 생성하는 기계입니다.”

기본 수준에서 물리적 현상은 기하학과 밀접한 관계가 있습니다. 간단한 예를 들어, 매끄러운 표면에서 공을 움직이면 그 궤도는 측지선이라고하는 속성 인 두 지점 사이의 최단 경로를 비 춥니 다. 이런 식으로 물리적 현상은 도형의 기하학적 특징을 감지 할 수 있습니다.

당구 공을 전자로 교체하십시오. 전자는 표면의 모든 곳에 확률 적으로 존재합니다. 이러한 확률을 포착하는 양자 장을 연구함으로써, 얼마나 많은 구멍이 있는지와 같은 표면의 전체적인 특성 (또는 수학 용어를 사용하기위한 다양체)에 대해 배울 수 있습니다. 이것은 기하학과 관련된 토폴로지 분야에서 일하는 수학자들이 대답하고자하는 근본적인 질문입니다.

“아무것도하지 않고 거기에 앉아있는 하나의 입자는 매니 폴드의 토폴로지에 대해 알기 시작합니다.”라고 Tong은 말했습니다.

1970 년대 후반에 물리학 자와 수학자들은 기하학의 기본 문제를 해결하기 위해이 관점을 적용하기 시작했습니다. 1990 년대 초에 Seiberg와 그의 협력자 Edward Witten은이를 사용하여 양자 현상을 순수한 수학적 형태의 특성에 대한 지표로 바꾸는 새로운 수학적 도구 (현재는 Seiberg-Witten 불변이라고 함)를 만드는 방법을 알아 냈습니다. 양자 입자가 특정 방식으로 동작하는 경우가 많고 모양의 구멍 수를 효과적으로 계산했습니다.

“Witten은 양자 장 이론이 기하학적 질문에 대해 완전히 예상치 못했지만 완전히 정확한 통찰력을 제공하여 다루기 힘든 문제를 해결하도록 만들었다는 것을 보여주었습니다.”라고 옥스포드 대학의 수학자 Graeme Segal이 말했습니다.

이 교환의 또 다른 예는 물리학 자들이 문자열과 관련된 계산을 수행하던 1990 년대 초에 발생했습니다. 이론. 그들은 근본적으로 다른 수학적 규칙에 따라 두 개의 다른 기하학적 공간에서 수행했으며 서로 정확히 일치하는 긴 숫자 세트를 계속 생성했습니다. 수학자들은 그 실을 집어 거울 대칭이라고하는 완전히 새로운 탐구 분야로 정교화하여 동시성을 조사하고 다른 많은 사람들이이를 좋아합니다.

“물리학은 이러한 놀라운 예측을 내놓을 것이고 수학자들은 우리 자신의 방법으로 그것들을 증명하려고 할 것입니다.”라고 Ben-Zvi는 말했습니다. “예측은 이상하고 훌륭했고 거의 항상 정확한 것으로 판명되었습니다.”

그러나 QFT는 수학이 따를 수있는 리드를 생성하는 데 성공했지만 핵심 아이디어는 여전히 거의 전적으로 수학 외부에 존재합니다. 양자 장 이론은 수학자들이 다항식, 그룹, 다양체 및 기타 학문 분야의 기둥을 사용할 수있을만큼 충분히 이해하는 대상이 아닙니다 (이 중 대부분은 물리학에서 유래 함).

물리학 자들에게 수학과의이 먼 관계는 그들이 태어난 이론에 대해 이해해야 할 것이 훨씬 더 많다는 신호입니다. “지난 수세기 동안 물리학에서 사용 된 다른 모든 아이디어는 수학에서 자연스럽게 자리를 잡았습니다.”라고 Seiberg는 말했습니다. “양자 장 이론의 경우는 분명히 그렇지 않습니다.”

수학자들은 QFT와 수학 사이의 관계가 가끔 상호 작용하는 것보다 더 깊어 야하는 것처럼 보입니다. 왜냐하면 양자 장 이론에는 장의 다른 부분에있는 점이 서로 어떻게 관련되는지를 지시하는 많은 대칭 또는 기본 구조가 포함되어 있기 때문입니다. 이러한 대칭은 물리적 인 의미가 있습니다. 양자 장이 시간이 지남에 따라 진화함에 따라 에너지와 같은 양이 보존되는 방식을 구현합니다. 그러나 그것들은 또한 그 자체로 수학적으로 흥미로운 대상입니다.

“A 수학자는 특정 대칭에 관심을 가질 수 있으며이를 물리적 맥락에 넣을 수 있습니다. 이 두 분야 사이에 아름다운 다리를 만들어줍니다.”

수학자 이미 대칭 및 기하학의 다른 측면을 사용하여 솔루션에서 다양한 유형의 방정식, 소수 분포에 이르기까지 모든 것을 조사합니다. 종종 기하학은 숫자에 대한 질문에 대한 답을 인코딩합니다. QFT는 수학자에게 다양하고 새로운 유형의 기하학적 개체를 제공합니다. 직접 손을 댈 수 있다면 무엇을 할 수 있을지 알 수 없습니다.

“우리는 어느 정도 QFT를 사용하고 있습니다.”오스틴에있는 텍사스 대학의 수학자 Dan Freed가 말했습니다. “우리는 QFT를 외부 자극으로 사용해 왔지만 내부 자극이라면 좋을 것입니다.”

QFT

수학은 새로운 과목을 가볍게 인정하지 않습니다. 많은 기본 개념이 현장에서 적절하고 표준적인 위치에 정착하기 전에 오랜 시험을 거쳤습니다.

실수를 취하십시오 — 수직선에있는 무한히 많은 눈금 표시. 수학을 정의하는 방법에 동의하는 데 거의 2,000 년의 연습이 필요했습니다. 마지막으로, 1850 년대에 수학자들은 실수를 “완전한 순서가있는 필드”로 설명하는 정확한 3 단어 문장에 정착했습니다. 그것들은 틈이 없기 때문에 완전하고, 한 실수가 다른 실수보다 크거나 작은지를 결정하는 방법이 항상 있기 때문에 순서가 정해져 있고, 수학자에게 이것은 그들이 산술의 규칙을 따른다는 것을 의미하는“필드”를 형성합니다. .

“이 세 단어는 역사적으로 힘든 싸움이었습니다.”Freed가 말했습니다.

QFT를 내부 자극으로 바꾸기 위해-그들이 사용할 수있는 도구 자신의 목적 — 수학자들은 실제 숫자에 부여한 QFT에 동일한 처리를 제공하려고합니다 : 특정 양자 장 이론이 충족해야하는 특성의 예리한 목록입니다.

QFT의 일부를 수학으로 번역하는 작업의 대부분은 Perimeter Institute의 Kevin Costello라는 수학자로부터 왔습니다. 2016 년에 그는 상호 작용의 수를 증가시키면서 발생하는 무한한 양으로 작업하는 방법을 공식화하는 것을 포함하여 견고한 수학적 기반에 섭동적인 QFT를 적용하는 교과서를 공동 집필했습니다. 이 작업은 비슷한 목적을 추구하는 대수 양자 장 이론이라고 불리는 2000 년대의 초기 노력을 따르며 Rejzner가 2016 년 책에서 검토했습니다. 따라서 섭동 QFT는 여전히 우주를 실제로 설명하지 않지만 수학자들은 그것이 생성하는 물리적으로 무의미한 무한대를 다루는 방법을 알고 있습니다.

“그의 기여는 매우 독창적이고 통찰력이 있습니다. 그는 엄격한 수학에 적합한 멋진 새 프레임 워크에 [perturbative] 이론을 적용했습니다.”라고 Moore는 말했습니다.

Coostello는 섭동 양자 장 이론을보다 일관성있게 만들고자하는 욕구로 책을 썼다고 설명합니다. “저는 방금 어떤 물리학 자들의 방법이 동기가없고 임시 방편이라는 것을 알았습니다. 나는 수학자가 함께 일할 수있는 좀 더 독립적 인 무언가를 원했습니다.”라고 그는 말했다.

섭동 이론이 작동하는 방식을 정확하게 지정함으로써 Costello는 물리학 자와 수학자가 자신의 섭동 접근 방식을 만족시키는 새로운 양자 장 이론을 구성 할 수있는 기반을 만들었습니다. 현장의 다른 사람들에게 빠르게 받아 들여졌습니다.

많은 젊은이들이 그 틀에서 일하고 있습니다. [quantum field theories] 그 영향력이있었습니다.”라고 Freed가 말했습니다.

Costello는 또한 양자 장 이론이 무엇인지 정의하는 작업을 해왔습니다. 축소 된 형태로 양자 장 이론은 모든 지점에서 관측을 할 수있는 기하학적 공간과 서로 다른 지점의 관측치가 서로 어떻게 관련되는지를 표현하는 상관 함수와 결합되어야합니다. Costello의 작업은 양자 장 이론의 실행 가능한 기초 역할을하기 위해 상관 함수 모음이 가져야하는 속성을 설명합니다.

표준 모델과 같이 가장 친숙한 양자 장 이론에는 모든 양자 장 이론에없는 추가 기능이 포함되어 있습니다. 이러한 기능이없는 양자 장 이론은 물리학 자들이 표준 모델이 설명 할 수없는 물리적 현상을 설명하는 데 도움이 될 수있는 아직 발견되지 않은 다른 속성을 설명 할 가능성이 높습니다. 양자 장 이론에 대한 당신의 아이디어가 우리가 이미 알고있는 버전과 너무 가깝게 고정되어 있다면, 다른 필요한 가능성을 상상하기조차 어려울 것입니다.

“필드 이론 [like the Standard Model]을 찾을 수있는 큰 가로등 기둥이 있고 그 주변에는 [quantum field theories] 우리는 정의하는 방법을 모르지만 거기에 있다는 것을 압니다.”Gaiotto가 말했습니다.

코스텔로는 양자 장에 대한 정의로 그 어두운 공간의 일부를 밝혔습니다. 이러한 정의에서 그는 두 가지 놀라운 새로운 양자 장 이론을 발견했습니다. 우리의 4 차원 우주를 설명하는 것도 아니지만 상관 함수를 갖춘 기하학적 공간의 핵심 요구 사항을 충족합니다. 순수한 사고를 통한 그들의 발견은 당신이 발견 할 수있는 첫 번째 모양이 물리적 세계에 존재하는 것과 비슷하지만 모양에 대한 일반적인 정의가 있으면 물리적 인 관련성이 전혀없는 예제로가는 방법을 생각할 수 있습니다.

수학이 양자 장 이론에 대한 가능성의 전체 공간을 결정할 수 있다면-모든 상관 관계 함수를 포함하는 일반적인 정의를 만족시킬 수있는 다양한 가능성 — 물리학 자들은이를 사용하여 자신이 가장 관심을 갖는 중요한 물리적 질문을 설명하는 특정 이론을 찾을 수 있습니다.

“양자 중력이 무엇인지 알고 싶기 때문에 모든 QFT의 공간을 알고 싶습니다.”라고 Castro는 말했습니다.

다세대 도전

갈 길이 멀다. 지금까지 완전한 수학적 용어로 설명 된 모든 양자 장 이론은 다양한 단순화에 의존하여 수학적으로 작업하기가 더 쉽습니다.

수십 년 전으로 돌아가 문제를 단순화하는 한 가지 방법은 4 차원 QFT가 아닌 더 간단한 2 차원 QFT를 연구하는 것입니다. 프랑스의 한 팀은 최근에 유명한 2 차원 QFT의 모든 수학적 세부 사항을 확인했습니다.

다른 단순화는 양자 필드가 물리적 현실과 일치하지 않는 방식으로 대칭 적이라고 가정하지만 수학적 관점에서 더 다루기 쉽습니다. 여기에는 “초대칭”및 “토폴로지”QFT가 포함됩니다.

다음, 및 훨씬 더 어려운 단계는 목발을 제거하고 물리학 자들이 가장 설명하고자하는 물리적 세계 물리학 자들에게 더 적합한 양자 장 이론에 대한 수학적 설명을 제공하는 것입니다 : 모든 상호 작용이 한 번에 가능한 4 차원 연속 우주.

“이것은 [a] 매우 창피한 일입니다. 우리는 4 차원에서 비섭 동적으로 설명 할 수있는 단일 양자 장 이론이 없습니다.”라고 Rejzner가 말했습니다. “어려운 문제이며 해결하려면 한두 세대 이상의 수학자와 물리학자가 필요합니다.”

그러나 그것은 수학자와 물리학 자들이 탐욕스럽게 눈을 돌리는 것을 멈추지 않습니다. 수학자들에게 QFT는 그들이 바라는만큼 풍부한 객체 유형입니다. 모든 양자 장 이론이 공유하는 특성 속성을 정의하려면 거의 확실하게 수학의 두 가지 기둥 인 무한을 제어하는 ​​방법을 설명하는 분석과 대칭에 대해 이야기하는 언어를 제공하는 기하학을 병합해야합니다.

Dijkgraaf는 “이는 두 가지 훌륭한 아이디어를 결합하기 때문에 수학 그 자체만으로도 흥미로운 문제입니다.”라고 말했습니다.

수학자가 QFT를 이해할 수 있다면 잠금 해제 과정에서 어떤 수학적 발견이 기다리고 있는지 알 수 없습니다. . 수학자들은 오래 전에 다양한 개체와 그룹과 같은 다른 개체의 특징적인 속성을 정의했으며, 이러한 개체는 이제 거의 수학의 모든 구석에 스며 듭니다. 그들이 처음 정의되었을 때 모든 수학적 결과를 예상하는 것은 불가능했을 것입니다. QFT는 최소한 수학에 대한 약속을 많이합니다.

물리학 자들이 반드시 모든 것을 아는 것은 아니지만 물리학은 알고 있습니다.”라고 Ben-Zvi가 말했습니다. “올바른 질문을하면 수학자가 찾고있는 현상이 이미 있습니다.”

물리학 자에게 QFT에 대한 완전한 수학적 설명은 해당 분야의 최우선 목표 인 물리적 현실에 대한 완전한 설명의 반대편입니다.

Seiberg는 “모든 것을 포함하는 하나의 지적 구조가 있다고 느낍니다. 아마도 모든 물리학을 포괄 할 것입니다.”라고 Seiberg는 말했습니다.

이제 수학자들은 그것을 밝혀 내면됩니다.

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Author: Kevin Hartnett

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